Question

设圆锥的母线长为l，底面半径为r，满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的

1

4

”的情况有且只有一种，则

r

l

=

3

2

．

Answer 1

分析：由题意画出圆锥及其内接圆柱的轴截面图，设出圆锥的高，圆柱的高和底面半径，然后根据平行关系建立方程，由满足条件“圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的

1

4

”的情况有且只有一种知方程有唯一解，利用方程的判别式等于0得圆锥的母线长l与底面半径r的关系．

解答：解：由题意画出轴截面图，如图所示，
圆锥的母线长为l，底面半径为r，
设圆锥高为h，内接圆柱高为x，底面半径为y，
∵CD∥AB，∴

O′C

OB

=

SO′

SO

，∴

y

r

=

h-x

h

，则y=

r

h

(h-x)，
∴圆锥的侧面积S₁=πrl，圆柱的侧面积S₂=2πx•y=2πx•

r

h

(h-x)．
由圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的

1

4

得：

1

4

πrl=

1

4

πr

r2+h2

=2πx•

r

h

(h-x)，
即8x2-8hx+h

h2+r2

=0，也就是8x2-8

l2-r2

x+

l2-r2

•l=0．
又“圆锥的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的

1

4

”的情况有且只有一种
∴方程8x2-8

l2-r2

x+

l2-r2

•l=0有且只有一个解，
∴△=(-8

l2-r2

)2-4×8

l2-r2

•l=0，
即32

l2-r2

•(2

l2-r2

-l)=0．
∵32

l2-r2

＞0，
∴2

l2-r2

-l=0，
整理得：(

r

l

)2=

3

4

，∴

r

l

=

3

2

．
∴圆锥的母线长为l，底面半径为r，满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的

1

4

”的情况有且只有一种时的

r

l

=

3

2

．
故答案为

3

2

．

点评：本题考查了旋转体中组合体的关系，考查了学生的观察与分析能力，考查了空间想象能力，解答此题的关键是把题目给出的条件转化成方程有唯一解，体现了数学转化思想，同时训练了学生对一元二次方程有唯一解情况的处理，是中档题．