Question

如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：
（1）AO与A′C′所成角；
（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；
（3）平面AOB与平面AOC所成角．

Answer 1

分析：（1）根据A′C′∥AC，可得AO与A′C′所成角就是∠OAC，解Rt△AOC，求出∠OAC的大小．
（2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE，由平面BC′⊥平面ABCD，得OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成角，解在Rt△OAE，求出tan∠OAE的大小．
（3）由OC⊥OA，OC⊥OB，可知OC⊥平面AOB，又OC?平面AOC，故平面AOB⊥平面AOC，从而得到平面AOB与平面AOC所成角为90°．

解答：解：（1）∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成角就是∠OAC．∵OC⊥OB，AB⊥平面BC′，∴OC⊥OA，
在Rt△AOC中，OC═OC=

2

2

，AC=

2

，∴∠OAC=30°．（4分）
（2）如图，作OE⊥BC于E，连接AE，∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成角．
在Rt△OAE中，OE=

1

2

，AE=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，∴tan∠OAE=

OE

AE

=

5

5

．（9分）
（3）∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成角为90°．（13分） 

点评：本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，求直线和平面所成的角，求二面角的大小的方法，找出这些角，是解题的关键．