题目内容

(1)当MA⊥MB时,求直线l的方程;
(2)试问在y轴上是否存在两个定点T1,T2,当直线MT1,MT2斜率存在时,两直线的斜率之积恒为定值?若存在,求出满足的T1,T2点坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设半圆C1上的切点P(x0,y0),直线lAB:x0x+y0y=1,代入C2:x2=8y+1,消去y,利用韦达定理,结合MA⊥MB,求出切点坐标,即可得到直线l的方程;
(2)求出曲线C2在A,B处的切线,可得两直线的交点坐标,进而利用两直线的斜率之积恒为定值,可得方程组,即可求出满足的T1,T2点坐标.
(2)求出曲线C2在A,B处的切线,可得两直线的交点坐标,进而利用两直线的斜率之积恒为定值,可得方程组,即可求出满足的T1,T2点坐标.
解答:解:(1)设半圆C1上的切点P(x0,y0),直线lAB:x0x+y0y=1,A(x1,y1),B(x2,y2),则
代入C2:x2=8y+1,消去y可得y0x2+8x0x-y0-8=0得:x1x2=
.
MA⊥MB时,yAyB=
x1x2=
•
=-1,得y0=
,
又x02+y02=1,求得:x0=±
,
∴所求的直线方程为:±
x+8y-15=0.
(2)曲线C2在A,B处的切线分别为:y=
x1x-
x12-
,y=
x2x-
x22-
,
两直线的交点M(
,
(x1x2-1)),即M(-
,-
-
),
设M(x,y),则由
求得:
,代入x02+y02=1,化得x2=16y2+8y-15,
设T1(0,t1),T2(0,t2),则
kMP•kMQ=
=
•
为定值,
必须t1+t2=-
,t1t2=-
,解得:
或
,不妨取T1(0,-
),T2(0,
).
代入C2:x2=8y+1,消去y可得y0x2+8x0x-y0-8=0得:x1x2=
-y0-8 |
y0 |
MA⊥MB时,yAyB=
1 |
16 |
1 |
16 |
-y0-8 |
y0 |
8 |
15 |
又x02+y02=1,求得:x0=±
| ||
15 |
∴所求的直线方程为:±
161 |
(2)曲线C2在A,B处的切线分别为:y=
1 |
4 |
1 |
8 |
1 |
8 |
1 |
4 |
1 |
8 |
1 |
8 |
两直线的交点M(
x1+x2 |
2 |
1 |
8 |
4x0 |
y0 |
1 |
4 |
1 |
y0 |
设M(x,y),则由
|
|
设T1(0,t1),T2(0,t2),则
kMP•kMQ=
(y-t1)(y-t2) |
x2 |
1 |
16 |
y2-(t1+t2)y+t1t2 | ||||
y2+
|
必须t1+t2=-
1 |
2 |
15 |
16 |
|
|
5 |
4 |
3 |
4 |
点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,考查切线方程,考查斜率的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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