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精英家教网如图,已知曲线C1:x2+y2=1(|x|<1),C2:x2=8y+1(|x|≥1),动直线l与C1相切,与C2相交于A,B两点,曲线C2在A,B处的切线相交于点M.
(1)当MA⊥MB时,求直线l的方程;
(2)试问在y轴上是否存在两个定点T1,T2,当直线MT1,MT2斜率存在时,两直线的斜率之积恒为定值?若存在,求出满足的T1,T2点坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)设半圆C1上的切点P(x0,y0),直线lAB:x0x+y0y=1,代入C2:x2=8y+1,消去y,利用韦达定理,结合MA⊥MB,求出切点坐标,即可得到直线l的方程;
(2)求出曲线C2在A,B处的切线,可得两直线的交点坐标,进而利用两直线的斜率之积恒为定值,可得方程组,即可求出满足的T1,T2点坐标.
解答:解:(1)设半圆C1上的切点P(x0,y0),直线lAB:x0x+y0y=1,A(x1,y1),B(x2,y2),则
代入C2:x2=8y+1,消去y可得y0x2+8x0x-y0-8=0得:x1x2=
-y0-8
y0

MA⊥MB时,yAyB=
1
16
x1x2=
1
16
-y0-8
y0
=-1,得y0=
8
15

又x02+y02=1,求得:x0
161
15

∴所求的直线方程为:±
161
x+8y-15=0.
(2)曲线C2在A,B处的切线分别为:y=
1
4
x1x-
1
8
x12-
1
8
,y=
1
4
x2x-
1
8
x22-
1
8

两直线的交点M(
x1+x2
2
1
8
(x1x2-1)),即M(-
4x0
y0
,-
1
4
-
1
y0
),
设M(x,y),则由
x=-
4x0
y0
y=-
1
4
-
1
y0
求得:
x0=
x
4y+1
y0=
-4
4y+1
,代入x02+y02=1,化得x2=16y2+8y-15,
设T1(0,t1),T2(0,t2),则
kMP•kMQ=
(y-t1)(y-t2)
x2
=
1
16
y2-(t1+t2)y+t1t2
y2+
1
2
y-
15
16
为定值,
必须t1+t2=-
1
2
,t1t2=-
15
16
,解得:
t1=
3
4
t2=-
5
4
t1=-
5
4
t2=
3
4
,不妨取T1(0,-
5
4
),T2(0,
3
4
).
点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,考查切线方程,考查斜率的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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