题目内容
已知函数f(x)=ln(ex+1)—ax.(Ⅰ)设a＞0,讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a=9时,若△ABC的三个顶点A、B、C都在函数y=f(x)的图像上，且横坐标成等差数列，求证：△ABC为钝角三角形.
解：(Ⅰ)由已知f′(x)=
当a≥1时,f′(x)＜0,y=f(x)在R单调递减；
当0＜a＜1时,解f′(x)＞0得(1-a)(ex+1)＞1即ex＞-1+
∴x＞ln
∴当0＜a＜1时,y=f(x)在(1n
,+∞)内单调递增；在(-∞,In
)内单调递减
(Ⅱ)当a=9时,f(x)=ln(ex+1)-9x在(-∞,+∞)上单调递减
设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))不妨设x1＜x2＜x3
∴
=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，
=(x3-x2，f(x3)-f(x2))
又∵
·
=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))
又由f(x)的单调性知：
x1-x2＜0，x3-x2＞0，f(x1)- f(x2)＞0，f(x3)-f(x2)＜0
∴
＜0 ∴cos∠ABC=
＜0
∴△BAC为钝角三角形
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