Question

（1）已知圆S：x²+y²=a²（a＞0），直线l₁：y=k₁x+p交圆S于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于E点，若k₁•k₂=-1，证明：E是CD的中点；
（2）已知椭圆，直线l₁：y=k₁x+p交椭圆T于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于E点，若．问E是否是CD的中点，若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）联立直线l₁，l₂的方程，联立直线l₁与圆的方程，确定CD中点坐标，利用韦达定理，即可得到结论；
（2）联立直线l₁，l₂的方程，联立直线l₁与圆的方程，确定CD中点坐标，利用韦达定理，即可得到结论．
解答：证明：（1）若k₁•k₂=-1，则，与l₁：y=k₁x+p联立解得．
将l₁：y=k₁x+p与S：x²+y²=a²（a＞0）联立消去y，整理得，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为M（x，y），
则，
所以E与M重合，故E是CD的中点．            …（8分）
（2）证明：若，则，与l₁：y=k₁x+p联立，解得．
将l₁：y=k₁x+p与联立消去y，整理得
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中点为M（x，y），
则，
所以E与M重合，故E是CD的中点．            …（16分）
点评：本题考查直线与直线，直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．