题目内容

(1)已知圆S:x2+y2=a2(a>0),直线l1:y=k1x+p交圆S于C、D两点,交直线l2:y=k2x于E点,若k1•k2=-1,证明:E是CD的中点;
(2)已知椭圆T:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,直线l1:y=k1x+p交椭圆T于C、D两点,交直线l2:y=k2x于E点,若k1k2=-
b2
a2
.问E是否是CD的中点,若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
分析:(1)联立直线l1,l2的方程,联立直线l1与圆的方程,确定CD中点坐标,利用韦达定理,即可得到结论;
(2)联立直线l1,l2的方程,联立直线l1与圆的方程,确定CD中点坐标,利用韦达定理,即可得到结论.
解答:证明:(1)若k1•k2=-1,则l2:y=-
1
k1
x
,与l1:y=k1x+p联立解得xE=-
k1p
1+k12

将l1:y=k1x+p与S:x2+y2=a2(a>0)联立消去y,整理得(1+k12)x2+2k1px+p2-a2=0
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点为M(x0,y0),
x0=
x1+x2
2
=
1
2
(-
2k1p
1+k12
)=-
k1p
1+k12
=xE

所以E与M重合,故E是CD的中点.            …(8分)
(2)证明:若k1k2=-
b2
a2
,则L2:y=-
b2
a2k1
x
,与l1:y=k1x+p联立,解得xE=-
a2k1p
b2+a2k12

将l1:y=k1x+p与T:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
联立消去y,整理得(b2+a2k12)x2+2a2k1px+a2p2-a2b2=0
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点为M(x0,y0),
x0=
x1+x2
2
=
1
2
(-
2a2k1p
b2+a2k12
)=-
a2k1p
b2+a2k12
=xE

所以E与M重合,故E是CD的中点.            …(16分)
点评:本题考查直线与直线,直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网