题目内容

不等式(m+1)x2-(m+1)x+3(m-1)<0对一切x∈R恒成立,则m的取值范围是(  )
分析:当m+1=0时,原不等式为-6<0对一切x∈R恒成立,符合题意;当m+1≠0,根据二次函数的图象与性质,建立关于m的不等式组,解之即可得到m<-1.最后综合得到两种情况的并集,即为实数m的取值范围.
解答:解:分两种情况进行讨论
①当m=-1时,原不等式为3(-1-1)<0,即-6<0,
对一切x∈R恒成立,符合题意;
②当m≠-1时,原不等式恒成立,即
m+1<0
△=(m+1)2-4×(m+1)×3(m-1)<0

解之得,m<-1
综上所述,可得实数m的取值范围是m≤-1
故选:C
点评:本题给出关于x的不等式,求使不等式恒成立的实数m的取值范围,着重考查了二次函数的图象与性质和函数恒成立的问题等知识点,属于中档题.
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