Question

若关于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0的解集为∅，则实数m的取值范围是

（-∞，-

2 3

3

]

．

Answer 1

分析：关于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0的解集为∅，可转化成不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论．

解答：解：∵关于x的不等式（m+1）x²-mx+m-1＞0的解集为∅，
∴不等式（m+1）x²-mx+m-1≤0恒成立
①当m+1=0时，（m+1）x²-mx+m-1≤0，即x≤2，不是对任意x∈R恒成立；
②当m+1≠0时，?x∈R，使（m+1）x²-mx+m-1≤0，
即m+1＜0且△=（-m）²-4（m+1）（m-1）≤0，
化简得：3m²≥4，解得m≥

2 3

3

或m≤-

2 3

3

，
∴m≤-

2 3

3

综上，实数m的取值范围是m≤-

2 3

3

．
故答案为：（-∞，-

2 3

3

]．

点评：本题主要考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，属于基础题．