Question

如图所示，已知多面体PABCD的直观图（图1）和它的三视图（图2），
（I）在棱PA上是否存在点E，使得PC∥平面EBD？若存在，求PE：PA的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由；
（II）求二面角B-PC-D的大小．（若不是特殊角请用反三角函数表示）

Answer 1

【答案】分析：（I）以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系A-xyz．设E（0，0，a），为平面EBD的法向量，
利用求出，利用求出a，在棱PA上存在点E，使得PC∥平面EBD．求出PE：PA的值．
（II）设分别为平面BPC和平面DPC的法向量，求出法向量，
利用求二面角B-PC-D的大小．（若不是特殊角请用反三角函数表示）
解答：解：由三视图可知，多面体是四棱锥P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，侧棱PA⊥平面ABCD．且PA=2，AB=BC=1，AD=2．（1分）
如图以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系A-xyz．
由三视图可知，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（3分）
设E（0，0，a），为平面EBD的法向量，
则，，
由，得．
令y=1，则．（4分）
又，且，
∴，
∴a=..（5分）
∴在棱PA上存在点E，使得PC∥平面EBD，
此时PE：PA=1：3..（6分）
（Ⅱ）设分别为平面BPC和平面DPC的法向量，
又，
则由，得，
令z₁=1，则．（9分）
同理．
∴．（11分）
由图可知二面角B-PC-D为钝二面角，
∴二面角B-PC-D的大小为．（12分）
点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角及其度量，考查转化思想，计算能力，是中档题．