Question

如图所示，已知多面体P-ABCD的直观图（图1）和它的三视图（图2），

（Ⅰ）在棱PA上是否存在点E，使得PC∥平面EBD？若存在，求PE：PA的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的大小．（若不是特殊角请用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系A-xyz．设E（0，0，a），

n

=(x，y，z)为平面EBD的法向量，
利用

n • BD =0 n • BE =0

求出

n

，利用

n

⊥

CP

求出a，在棱PA上存在点E，使得PC∥平面EBD．求出PE：PA的值．
（Ⅱ）设

m1

=(x1，y1，z1)，

m2

=(x2，y2，z2)分别为平面BPC和平面DPC的法向量，求出法向量，
利用cos?

m1

，

m2

＞=

m1 • m2

| m1 || m2 |

求二面角B-PC-D的大小．（若不是特殊角请用反三角函数表示）

解答：解：由三视图可知，多面体是四棱锥P-ABCD，底面ABCD是直角梯形，侧棱PA⊥平面ABCD．且PA=2，AB=BC=1，AD=2．（1分）
如图以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系A-xyz．
由三视图可知，B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（3分）
设E（0，0，a），

n

=(x，y，z)为平面EBD的法向量，
则

BD

=(-1，2，0)，

BE

=(-1，0，a)，
由

n • BD =0 n • BE =0

，得

-x+2y=0 -x+az=0

．
令y=1，则

n

=(2，1，

2

a

)．（4分）
又

CP

=(-1，-1，2)，且

n

⊥

CP

，
∴-2-1+

4

a

=0，
∴a=

4

3

 （5分）
∴在棱PA上存在点E，使得PC∥平面EBD，
此时PE：PA=1：3 （6分）
（Ⅱ）设

m1

=(x1，y1，z1)，

m2

=(x2，y2，z2)分别为平面BPC和平面DPC的法向量，
又

BP

=(-1，0，2)，

CP

=(-1，-1，2)，
则由

m1 • BP =0 m1 • CP =0

，得

-x1+2z1=0 -x1-y1+2z1=0

，
令z₁=1，则

m1

=(2，0，1)．（9分）
同理

m2

=(1，1，1)．
∴cos?

m1

，

m2

＞=

m1 • m2

| m1 || m2 |

=

15

5

．（11分）
由图可知二面角B-PC-D为钝二面角，
∴二面角B-PC-D的大小为π-arccos

15

5

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角及其度量，考查转化思想，计算能力，是中档题．