题目内容

如图，是函数y=Asin（ωx+φ），（-π＜φ＜π）的图象的一段，O是坐标原点，P是图象的最高点，A点坐标为（5，0），若 $数学公式$ ，则此函数的解析式为________．

$\text{[math]}$
分析：设P（x₀，A），依题意利用向量的数量积的坐标运算通过解方程可求得x₀与A的值，继而可求得其周期T，从而可求得ω与φ．
解答：设P（x₀，A）（A＞0），则 $\text{[math]}$ =（x₀，A），
∵| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +A²=10，①
又 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =15，A点坐标为（5，0），
∴5x₀+0×A=15，
∴x₀=3；
将x₀=3代入①得A=1．设其周期为T，
∵ $\text{[math]}$ =5-3=2，
∴T=8，令ω＞0，又T= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =8，
∴ω= $\text{[math]}$ ．
又函数y=sin（ $\text{[math]}$ x+φ）过A（5，0），且在[3，5]上单调递减，
∴ $\text{[math]}$ ×5+φ=2kπ+π，k∈Z，
令k=0，得φ=- $\text{[math]}$ ．
∴y=sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）．
故答案为：y=sin（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查向量的数量积与方程思想，求得x₀与A的值是关键，也是难点，属于中档题．