题目内容

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点 $数学公式$ 在函数y=x²+1的图象上．数列{b_n}满足b₁=0，b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^）．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^），求数列{c_n}的前n项和S_n．

解：（Ⅰ）因为点（ $\text{[math]}$ ）（n∈N*）在函数y=x²+1的图象上
所以a_n+1=a_n+1
根据等差数列的定义：{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列
所以a_n=n
∵b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*）．
∴b_n+1-b_n=3ⁿ（n∈N^*）．
∴ $\text{[math]}$
（II）∵c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），
∴ $\text{[math]}$
当n为偶数时，S_n=（-3+2•3²+…+n•3ⁿ）+3[1-2+3-4+…+（n-1）-n]
设T_n=（-3+2•3²+…+n•3ⁿ），则3T_n=-3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
当n为奇数时， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）由题设条件知a_n+1=a_n+1，根据等差数列的定义：{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而a_n=n，根据b_n+1=b_n+3^a_n（n∈N^*），可得b_n+1-b_n=3ⁿ（n∈N^*）．累加可求和，从而得{b_n}的通项公式；
（II）根据c_n=a_nb_ncosnπ（n∈N^*），可得 $\text{[math]}$ ，再分n为偶数，奇数分别求和即可
点评：本题以函数为载体，考查数列的概念和性质及其应用，，考查错位相减法求和，解题时要注意公式的灵活运用．