Question

若在区间[

1

2

，2]上，函数f（x）=x²+px+q与g（x）=x+

1

x

在同一点取得相同的最小值，则f（x）在该区间上的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先根据均值不等式可知g（x）在x=1时，g（x）取最小值，然后根据题意可知f（x）在x=1时取最小值，建立等式关系，求出p和q，从而求出f（x）在该区间上的最大值．

解答：解：对于g（x）=x+

1

x

在x=1时，g（x）的最小值为2，
则f（x）在x=1时取最小值2，
∴-

p

2

=1，

4q-p2

4

=2．
∴p=-2，q=3．
∴f（x）=x²-2x+3，
∴f（x）在该区间上的最大值为3．
故答案为：3

点评：本题主要考查了对勾函数的最值，以及二次函数在闭区间的最值，属于基础题．