题目内容

精英家教网如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（b＞r＞0）．
（1）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率．
（2）直线y=k1x交椭圆于两点C（x1，y1），D（x2，y2）（y2＞0）；直线y=k2x交椭圆于两点G（x3，y3），H（x4，y4）（y4＞0）．
求证：
k1x1x2
x1+x2
=
k2x3x4
x3+x4
．
（3）对于（2）中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q．
求证：|OP|=|OQ|．
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）
分析：（1）如图可知椭圆的顶点坐标，根据椭圆的性质可分别得出椭圆的长半轴和短半轴，进而得到椭圆的方程．再根据椭圆中a，b，c的关系求得c，进而可得椭圆的焦点和离心率．
（2）将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，整理后根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的值，两式相除可得
r2-b2
2k1r
=
x1x2
x1+x2
，同理可得
x3x4
x3+x4
=
r2-b2
2k1r
，整理后进而可得
k1x1x2
x1+x2
=
k2x3x4
x3+x4
．
（3）设点P（p，0），点Q（q，0），根据C，P，H共线，得
x1- p
x4-p
=
k2x1
k2x4
，求得p；同样的方法求得q，由
k1x1x2
x1+x2
=
k2x3x4
x3+x4
变形后即可证明所以|p|=|q|，原式得证．
解答：解：（1）如图可知椭圆的方程为
x2
a2
+
(y-r)2
b2
=1
焦点坐标为F1（- 
a2-b2
，r），F2（
a2-b2
，r）
离心率e=
a2-b2
a

（2）将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，
得b2x2+a2（k1x-r）2=a2b2，
整理得（b2+a2k12）x2-2k1a2rx+（a2r2-a2b2）=0．
根据韦达定理，得 x1+x2=
2k1a2r
b2+a2
k
1
2

x1x2=
a2r2-a2b2
b2+a2
k
2
1

所以
x1x2
x1+x2
=
r2-b2
2k1r
①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得
x3x4
x3+x4
=
r2-b2
2k1r
②
由①，②得
k1x1x2
x1+x2
=
r2-b2
2 r
=
k2x3x4
x3+x4
所以结论成立．

（3）设点P（p，0），点Q（q，0）．
由C，P，H共线，得
x1- p
x4-p
=
k2x1
k2x4

解得p=
(k1-k2)x1x4
k1x1-k2x4

由D，Q，G共线，同理可得q=
(k1-k2)x2x3
k1x2-k2x3

由
k1x1x2
x1+x2
=
k2x3x4
x3+x4
变形得
-
x2x3
k1x2-k2x3
=
x3x4
k1x1-k2x4

即-
(k1-k2)x1x4
k1x1-k2x4
=
(k1-k2)x2x3
k1x2-k2x3

所以|p|=|q|，
即|OP|=|OQ|．
点评：本题主要考查了椭圆的方程和直线与椭圆的关系．考查了学生分析问题和综合运用知识的能力．是高考题出题的常用模式．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网已知半椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)与半椭圆
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A1A|＞|B1B|，求
b
a
的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．
如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①a1+c1=a2+c2；②a1-c1=a2-c2；③c1a2＞a1c2；④
c1
a1
≤
c2
a2
．
其中正确式子的序号是
②③
②③
．
（2006•海淀区一模）如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于P点，若点D满足
FD
=
DP
，
AB
=λ
AD
（λ≠0），
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的长轴长等于4，Q是椭圆右准线l上异于点A的任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1、QA2与椭圆的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN与x轴交于定点．

如图，椭圆的中心在原点，长轴AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于C、D、D1、C1四点，且|CD|＝|AA1|.椭圆的一条弦AC交双曲线于E，设，当时，求双曲线的离心率e的取值范围.
如图，椭圆=1(a＞b＞c)的右准线l与x轴的交点为A，椭圆的上顶点为B，过椭圆的右焦点F作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于P点.若点D满足 (λ≠0).

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)若椭圆的长轴长等于4，Q是椭圆右准线l上异于点A的任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1、QA2与椭圆的另一个交点分别为M、N，求证：直线MN与x轴交于定点.

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