题目内容
15．
已知四边形ABCD中，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|，|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{CD}$|，试用向量方法证明它的两条对角线互相垂直．
分析 证明AC平分∠DAB，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=0，即可证明结论．
解答 证明：由题意，△ADC≌△ABC，∴AC平分∠DAB，
∴$\overrightarrow{AC}$=k（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$），
∵$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DB}$=k（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=k（$\overrightarrow{AB}$2-$\overrightarrow{AD}$2）=0，
∴$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{DB}$．
∴四边形ABCD的两条对角线互相垂直．
点评 本题考查平面向量数量积运算，考查学生的计算能力，比较基础．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
5．已知椭圆x2+3y2=9的左焦点为F1，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．若点D是线段PF1的中点，则△F1OD的周长为（ ）
| A． | 1+$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$ | B． | 3+$\sqrt{6}$ | C． | 3+2$\sqrt{3}$ | D． | 6+2$\sqrt{6}$ |
如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=a，点A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，A1D∩AC1=M，BA1⊥AC1．