Question

如图，四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（I）求三棱柱C-A₁B₁C₁的体积V；
（II）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由A₁D⊥平面ABCD，可得A₁D为两个底面的距离即三棱锥C-A₁B₁C₁的高，再利用三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V=计算公式即可得出；
（Ⅱ）通过建立如图所示的空间直角坐标系，先求出平面ADB₁的法向量，利用BD₁的方向向量与其法向量的夹角即可得出线面角．
解答：解：（Ⅰ）∵A₁D⊥平面ABCD，∴A₁D⊥AD，A₁D即为两个底面的距离．
在Rt△A₁DA中，，AA₁=2，AD=1，
由勾股定理得．
又=．
∴三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V==；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），
A₁（0，0，），B₁（0，1，），D₁（-1，0，），C₁（-1，1，）．
∴，，．
设平面ADB₁的法向量为，
则，即，
令z=1，则y=，x=0，∴．
设直线BD₁与平面ADB₁所成角为θ，
则===．
点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法求空间角、空间距离、线面垂直的判定与性质、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．