Question

设p＞0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线y²=2px交于相异的两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.试证明抛物线顶点在圆H的圆周上，并求圆H的面积最小时直线AB的方程.

Answer 1

证明：由题意，直线 AB不能是水平线，故可设直线方程为ky=x-2p.

又设A(x_A,y_A)、B(x_B,y_B),则其坐标满足消去x得y²-2pky-4p²=0.由此得

因此·=x_Ax_B+y_Ay_B=0,即OA⊥OB.故O必在圆H的圆周上.

又由题意圆心H（x_H,y_H）是AB的中点，

故

由前已证，OH应是圆H的半径，且|OH|=.从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为x=2p.