题目内容
设
，g（x）=ax+5-2a（a＞0）．（1）求f（x）在x∈[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x1∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x1）成立，求a的取值范围．
【答案】分析：（1）求f（x）的值域问题可用导数法；注意到分母为x2，可分子分母同除以x2，将分母变为关于
的二次函数解决；
还可以将分母换元，转化为用双钩函数求最值．
（2）对于任意x1∈[0，1]，f（x1）范围由（1）可知，由题意即g（x）的值域包含f（x）的值域，转化为集合的关系问题．
解答：解：（1）法一：（导数法）
在x∈[0，1]上恒成立．
∴f（x）在[0，1]上增，
∴f（x）值域[0，1]．
法二：
，用复合函数求值域．
法三：
用双勾函数求值域．
（2）f（x）值域[0，1]，g（x）=ax+5-2a（a＞0）在x∈[0，1]上的值域[5-2a，5-a]．
由条件，只须[0，1]⊆[5-2a，5-a]．
∴
⇒
．
点评：本题考查函数的值域问题，任意性和存在性命题问题，考查对题目的理解和转化能力．
的二次函数解决；还可以将分母换元，转化为用双钩函数求最值．
（2）对于任意x1∈[0，1]，f（x1）范围由（1）可知，由题意即g（x）的值域包含f（x）的值域，转化为集合的关系问题．
解答：解：（1）法一：（导数法）
在x∈[0，1]上恒成立．∴f（x）在[0，1]上增，
∴f（x）值域[0，1]．
法二：
，用复合函数求值域．法三：
用双勾函数求值域．
（2）f（x）值域[0，1]，g（x）=ax+5-2a（a＞0）在x∈[0，1]上的值域[5-2a，5-a]．
由条件，只须[0，1]⊆[5-2a，5-a]．
∴
⇒．点评：本题考查函数的值域问题，任意性和存在性命题问题，考查对题目的理解和转化能力．
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