Question

已知函数f(x)=

x+ 1 x ，x∈[-2，-1) -2，x∈[-1， 1 2 ) x- 1 x ，x∈[ 1 2 ，2]

（1）求f（x）的值域；
（2）设函数g（x）=ax-2，x∈[-2，2]，对于任意x₁∈[-2，2]，总存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于分段函数的值域问题要分段求解，然后再综合即可得出f（x）的值域；
（2）根据对于任意x₁∈[-2，2]，总存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函数f（x）在[-2，2]，上值域是g（x）在[-2，2]，上值域的子集，下面利用求函数值域的方法求函数f（x）、g（x）在[-2，2]，上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当x∈[-2，2]时，f(x)=x+

1

x

在[-2，-1)上是增函数，此时f(x)∈[-

5

2

，-2)
当x∈[-1，

1

2

)时，f(x)=-2
当x∈[

1

2

，2]时，f(x)=x-

1

x

在[

1

2

，2]上是增函数，此时f(x)∈[-

3

2

，

3

2

]∴f(x)的值域为[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]
（2）①若a=0，g（x）=-2，对于任意x1∈[-2，2]，f(x1)∈[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]，不存在x0∈[-2，2]，使g(x0)=f(x1)
②当a＞0时，g（x）=ax-2在[-2，2]是增函数，g（x）∈[-2a-2，2a-2]
任给x1∈[-2，2]，f(x1)∈[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]
若存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立
则[-

5

2

，-2]∪[-

3

2

，

3

2

]⊆[-2a-2，2a-2]∴

-2a-2≤- 5 2 2a-2≥ 3 2

，∴a≥

7

4

③a＜0，g（x）=ax-2在[-2，2]是减函数，g（x）∈[2a-2，-2a-2]∴

2a-2≤- 5 2 -2a-2≥ 3 2

，∴a≤-

7

4

综上，实数a∈(-∞，-

7

4

]∪[

7

4

，+∞)

点评：此题是个中档题．考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，