题目内容
已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n项和为Sn,且1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
a4 |
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及Sn;
(Ⅱ)记An=
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
S3 |
1 |
Sn |
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
a2n-1 |
分析:(Ⅰ)设出等差数列的公差,利用等比中项的性质,建立等式求得d,则数列的通项公式和前n项的和可得.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的an和Sn,代入不等式,利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn,最后对a>0和a<0两种情况分情况进行比较.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的an和Sn,代入不等式,利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn,最后对a>0和a<0两种情况分情况进行比较.
解答:解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,由(
)2=
•
,
得(a1+d)2=a1(a1+3d),因为d≠0,所以d=a1=a
所以an=na,Sn=
(Ⅱ)解:∵
=
(
-
)
∴An=
+
+
+…+
=
(1-
)
∵a2n-1=2n-1a,所以
=
=
•(
)n-1为等比数列,公比为
,
Bn=
+
+…+
=
•
=
•(1-
)
当n≥2时,2n=Cn0+Cn1+…+Cnn>n+1,即1-
<1-
所以,当a>0时,An<Bn;当a<0时,An>Bn.
1 |
a2 |
1 |
a1 |
1 |
a4 |
得(a1+d)2=a1(a1+3d),因为d≠0,所以d=a1=a
所以an=na,Sn=
(n+1)na |
2 |
(Ⅱ)解:∵
1 |
Sn |
2 |
a |
1 |
n |
1 |
n+1 |
∴An=
1 |
S1 |
1 |
S2 |
1 |
S3 |
1 |
Sn |
2 |
a |
1 |
n+1 |
∵a2n-1=2n-1a,所以
1 |
a2n-1 |
1 |
a •2n-1 |
1 |
a |
1 |
2 |
1 |
2 |
Bn=
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
a2n-1 |
1 |
a |
1-(
| ||
1-
|
2 |
a |
1 |
2n |
当n≥2时,2n=Cn0+Cn1+…+Cnn>n+1,即1-
1 |
n+1 |
1 |
2n |
所以,当a>0时,An<Bn;当a<0时,An>Bn.
点评:本题主要考查了等差数列的性质.涉及了等差数列的通项公式,求和公式以及数列的求和的方法,综合考查了基础知识的运用.
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