题目内容

已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n项和为Sn,且
1
a1
1
a2
1
a4
成等比数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及Sn
(Ⅱ)记An=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
,Bn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2n-1
,当n≥2时,试比较An与Bn的大小.
分析:(Ⅰ)设出等差数列的公差,利用等比中项的性质,建立等式求得d,则数列的通项公式和前n项的和可得.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的an和Sn,代入不等式,利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn,最后对a>0和a<0两种情况分情况进行比较.
解答:解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,由(
1
a2
2=
1
a1
1
a4

得(a1+d)2=a1(a1+3d),因为d≠0,所以d=a1=a
所以an=na,Sn=
(n+1)na
2

(Ⅱ)解:∵
1
Sn
=
2
a
1
n
-
1
n+1

∴An=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
=
2
a
(1-
1
n+1

a2n-1=2n-1a,所以
1
a2n-1
=
1
a •2n-1
=
1
a
(
1
2
)
n-1
为等比数列,公比为
1
2

Bn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2n-1
=
1
a
1-(
1
2
 n
1-
1
2
=
2
a
•(1-
1
2n

当n≥2时,2n=Cn0+Cn1+…+Cnn>n+1,即1-
1
n+1
<1-
1
2n

所以,当a>0时,An<Bn;当a<0时,An>Bn
点评:本题主要考查了等差数列的性质.涉及了等差数列的通项公式,求和公式以及数列的求和的方法,综合考查了基础知识的运用.
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