题目内容

已知直线l：与椭圆C：（a>1）交于P，Q两点。
（1）设PQ中点M（x0，y0），求证：；
（2）椭圆C的右顶点为A，且A在以PQ为直径的圆上，求△OPQ的面积（O为坐标原点）。
解：（1）设直线l与椭圆C交于P（x1，y1），Q（x2，y2）
将代入x2+a2y2-a2=0，
整理可得
由韦达定理得
∵M（x0，y0）为PQ中点，
∴
故。
（2）依题意
得（x1-a）（x2-a）+y1y2=0
又
∴
整理可得5x1·x2-（2+a）（x1+x2）+a2+3=0， ②
将①代入②得

∵a>1，则
∴
故所求椭圆方程为
联立椭圆与直线方程得
∴
原点到直线的距离为
∴。
练习册系列答案
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（2012•安庆二模）已知直线l：x+y+8=0，圆O：x2+y2=36（O为坐标原点），椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为e=
3
2
，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点（3，0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设
OS
=
OA
+
OB
（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为2
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点（2，0）的直线l的与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，当∠AOB为锐角时，求直线l的斜率k的取值范围．

已知直线l：与椭圆C：交于P、Q两点，以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．

(Ⅰ)设PQ中点M(x0，y0)，求证：；

(Ⅱ)求椭圆C的方程．

已知椭圆C的方程为，其离心率为，经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线l：与椭圆C交于A、B两点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且满足，求的取值范围．

 

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