Question

如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,
cos〈,〉=.
(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;
(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.

Answer 1

(1) 点E的坐标是（1，1，1）(2) F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB

  (1)如图所示,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），
设P（0，0，2m），则E（1，1，m），
∴=（-1，1，m），
=（0，0，2m）.
∴cos〈,〉==.
解得m=1,∴点E的坐标是（1，1，1）.
（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）.
则=（x-1，-1，z-1），
又=（2，0，0），=（0，2，-2）
∵EF⊥平面PCB
∴⊥，且⊥
即
∴
∴，∴F点的坐标为（1，0，0）
即点F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB.