Question

为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）．下表是测量数据的茎叶图：
规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品．
（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；
（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．

Answer 1

解：（I）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为
乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为=…..（2分）
（II）ξ的取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=0）==，P（ξ=0）==．
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P

故Eξ=0×+1×+2×+3×=…（9分）
（III） 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”P（A）=C×C=
P（B）=C×C=
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为P（A）+P（B）=．…（13分）
分析：（I）算出甲厂抽取的样本中优等品有6件，从而得出优等品率即可．
（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由古典概型分别求概率，得到ξ的分布列，再求期望即可．
（III）抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”，分别计算出它们的概率，再利用概率的加法公式得到抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率即可．
点评：本题考查茎叶图、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．