Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）若直线与ι椭圆有两个不同的交点，求m的取值范围；  
（2）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）先求出椭圆的方程，再与直线方程联立，利用△＞0，即可得出m的取值范围；
（2）只要证明k_MA+k_MB=0即可．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵离心率为

3

2

，且经过点M（4，1）．
∴

c a = 3 2 a2=b2+c2 16 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=20 b2=5 c2=15

，
∴椭圆的方程为

x2

20

+

y2

5

=1．
联立

y=x+m x2 20 + y2 5 =1

消去y得到5x²+8mx+4m²-20=0，
△=64m²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（1）可得x1+x2=-

8m

5

，x1x2=

4m2-20

5

，
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，
∴k_MA+k_MB=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

而分子=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=

2(4m2-20)

5

-

8m(m-5)

5

-8(m-1)=0，
∴k_MA+k_MB=0，
∴直线MA，MB与x轴围成等腰三角形．

点评：熟练掌握直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、交点与判别式的关系、等腰三角形与斜率的关系是解题的关键．