题目内容

定义在上的函数,当时,,且对任意的 ,有
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求证:对任意的,恒有
(Ⅲ)若,求的取值范围.

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).

解析试题分析:(Ⅰ)令即可得证;(Ⅱ)令得,,由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0,故对任意x∈R,f(x)>0;(Ⅲ)先证明为增函数:任取x2>x1,故,故其为增函数;然后利用单调性脱解一元二次不等式.
试题解析:(Ⅰ)令,则f(0)=[f(0)]2  ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1  2分
(Ⅱ)令则 f(0)=f(x)f(-x)∴  4分
由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0
,又x=0时,f(0)=1>0       6分
∴对任意x∈R,f(x)>0               7分
(Ⅲ)任取x2>x1,则f(x2)>0,f(x1)>0,x2-x1>0  8分

∴f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在R上是增函数       10分
f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0),f(x)在R上递增
∴由f(3x-x2)>f(0)得:x-x2>0 ∴ 0<x<3       13分
考点:抽象函数、增函数的证明、一元二次不等式解法.

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