Question

已知集合A为函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）的定义域，集合B={x|1-a²-2ax-x²≥0}．
（I）若A∩B={x|≤x＜1}，求a的值；
（II）求证a≥2是A∩B=φ的充分不必要条件．

Answer 1

解：（I）要使函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）有意义，可得
即-1＜x＜1，∴A={x|-1＜x＜1}，
由1-a²-2ax-x²≥0得x²+2ax+a²-1≤0即（x+a-1）（x+a+1）≤0，
∴-1-a≤x≤1-a
从而B={x|-1-a≤x≤1-a}，
∵A∩B={x|≤x＜1}，
∴，解得a=-；
（II）由（I）知：B=[-1-a，1-a]
当a≥2时，1-a≤-1，
由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，有A∩B=∅，
反之，若A∩B=∅，可取-a-1=2，解得a=-3，a＜2，
所以a≥2是A∩B=∅的充分不必要条件；
分析：（I）根据对数函数的性质可以求出f（x）的定义域，得到集合A，利用十字相乘法，求出集合B，再根据A∩B={x|≤x＜1}，求出a值；
（II）由（I）知：B=[-1-a，1-a]，已知a≥2，根基交集的定义可以判断集合A与B的关系，利用特殊值法证明A∩B=∅推不出a≥2，从而进行证明；
点评：此题主要考查集合间的参数关系，以及对数函数的性质，注意理解集合空集的含义，第二问涉及充分不必要条件的定义，利用特殊值法进行证明会比较简单；