题目内容
【题目】
(1)设函数 ,求
的最大值;
(2)试判断方程 在
内存在根的个数,并说明理由.
【答案】
(1)解:当 时,若
,
,
若 ,由
,可知
,故
.
当 时,由
,可得:
时,
,
单调递增;
时,
,
单调递减,
可知 ,且
.
综上可得,函数 的最大值为
.
(2)解:方程 在
内存在唯一的根.
理由如下:设 ,
当 时,
,
又 ,
所以存在 ,使得:
.
因为 ,
所以当 时,
,
当 时,
,
所以当 时,
单调递增,
所以方程 在
内存在唯一的根.
【解析】对于(1)分段函数最值的研究,要结合分段函数的导致,分别求出最值,各段最大值的最大者就是最大值,要注意分类讨论。
对于(2)判断方程的实根个数时,往往通过函数的导致,判断函数的单调性,利用函数的零点推出结果。
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减,以及对函数的极值的理解,了解极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
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