Question

设命题p：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．命题q：函数y=lg（x²-ax+1）的值域为R．如果命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的范围．

Answer 1

分析：命题p真则真数大于0恒成立?开口向上；判别式小于0；求出a的范围；
命题q真则真数的值域包含所有的正实数?判别式大于0求出a的范围；
据p且q为假命题?命题p和q有且仅有一个为真．求出a的范围

解答：解：若p真，则

a＞0 (-1)2-4a2＜0

，解得a＞

1

2

．
若q真，则（-a）²-4≥0，解得a≤-2或者a≥2．
因为命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，
所以命题p和q有且仅有一个为真．
所以实数a范围为：a≤-2或

1

2

＜a＜2．

点评：本题考查解决二次不等式恒成立问题常结合二次函数的图象列出需要满足的条件、复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系．