题目内容
【题目】如图所示,在四棱台中,
底面
,四边形
为菱形,
,
.
(Ⅰ)若为
中点,求证:
平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】(Ⅰ)要证直线与平面
垂直,现在由
与底面垂直有
,因此还要证一个垂直,证
,这可通过等边三角形
得证
,从而有需要的结论
,因此证得线面垂直;
(Ⅱ)要求直线与平面所成的角,分别以为
轴、
轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,
、
、
、
,求出平面
的法向量,由直线的方向向量与平面法向量夹角得线面角.
试题解析:(Ⅰ) 四边形为菱形,
,连结
,则
为等边三角形,
又为
中点,
,由
得,
,
底面
,
底面
,
,又
,
平面
(Ⅱ)四边形
为菱形,
,
,
得,
,
,又
底面
,
分别以为
轴、
轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
,
、
、
、
,
,
,
,
设平面的一个法向量
,
则有,令
,则
直线
与平面
所成角
的正弦值
.
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