题目内容

已知曲线C：f(x)＝x2，C上点A，An的横坐标分别为1和an(n＝1，2，3…)，且a1＝5，数列{xn}满足xn+1＝tf(xn－1)＋1(t＞0)，且()．设区间Dn＝[1，an](an＞1)当x∈Dn时，曲线C上存在点Pn(xn，f(xn))使得点Pn处的切线与直线AAn平行．

(Ⅰ)证明：{logt(xn－1)＋1}是等比数列；

(Ⅱ)当Dn+1Dn对一切n∈N*恒成立时，求t的取值范围；

(Ⅲ)记数列{an}的前n项和为Sn，当时，试比较Sn与n＋7的大小，并证明你的结论．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)∵由线在点Pn的切线与直线AAn平行，

　　∴　　(1分)

　　由　　(2分)

　　∴

　　即

　　∴是首项为2＋1为首项，公比为2的等比数列．　　(4分)

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得＝(2＋1)·2n－1，

　　∴

　　从而an＝2xn－1＝1＋　　(6分)

　　由Dn+1Dn，得an+1＜an，即(2t)2n＜(2t)．　　(8分)

　　∴0＜2t＜1，即0＜t＜　　(9分)

　　(Ⅲ)当时，　　(10分)

　　∴

　　不难证明：当n≤3时，2n－1≤n＋1；当n≥4时，2n－1＞n＋1．　　(11分)

　　∴当n≤3时，　　(12分)

　　当n≥4时，

　　　　(13分)

　　综上所述，对任意的　　(14分)


练习册系列答案
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已知曲线C：f(x)=sin(x-
π2
)+ex+2，则在x=0处切线方程为
 
．
已知曲线C：f(x)=
1
3
x3+
4
3
，
（1）求曲线在点（2，4）处的切线方程；
（2）求过点（2，4）的切线方程．
（2013•徐州三模）已知曲线C：f(x)=x+
a
x
(a＞0)，直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．若△ABP的面积为
1
2
，则△OMN的面积为
4
4
．
已知曲线C：f(x)=
1
3
x3+
4
3
，
（1）求曲线在点（2，4）处的切线方程；
（2）求过点（2，4）的切线方程．
已知曲线C：f(x)=sin(x-
π
2
)+ex+2，则在x=0处切线方程为 ______．

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