Question

有一种商品A、B两地都有出售，且两地的价格相同，但是某地区的居民从两地往回运时，每单位距离A地的运费是B地的3倍．已知A、B两地的距离是10千米．顾客购买这种商品，选择从A地或者B地买的标准是，包括运费在内的总费用比较便宜．求A地的购物影响区域的面积（某地的购物影响区域是指选择到该地购买商品的地区）．

Answer 1

分析：首先要建立以A或B为中心的购买区域，因为每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，因此，顾客所在地到A地距离是到B地距离的

1

3

，以此为等量关系，所以满足此条件的范围应为某区域，由此可得结论．

解答：解：以A、B所确定的直线为x轴，A、B中点O为坐标原点，建立直角坐标系，
则A（-5，0）、B（5，0）．
设某地P的坐标为（x，y），且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a元/km，B地的运费为a元/km．
价格+x_A地运费≤价格+x_B地运费，所以3a

(x+5)2+y2

≤a

(x-5)2+y2

因为a＞0，所以3

(x+5)2+y2

≤

(x-5)2+y2

两边平方，得9（x+5）²+9y²≤（x-5）²+y²，即（x+

25

4

）²+y²≤（

15

4

）²．
所以，以点C（-

25

4

，0）为圆心、

15

4

为半径的圆是这两地购货的分界线．
∴A地的购物影响区域的面积为(

15

4

)2=

225

16

π平方公里．

点评：本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．