Question

12、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②-3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是（　　）

A、1

B、2

C、3

D、4

Answer 1

分析：根据题中“类”的理解，在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，
对于各个结论进行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵-3÷5=0…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可．

解答：解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①对；
②∵-3÷5=0…2，∴对-3∉[3]；故②错；
③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④对．
∴正确结论的个数是3．
故选C．

点评：本题主要考查了选修3同余的性质，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属于创新题．