题目内容

已知函数 $数学公式$ ，
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为递增函数，求正实数a的取值范围；
（2）当a=1时，求函数f（x）在 $数学公式$ 上的最大值和最小值；
（3）试比较 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的大小，并说明理由．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，∴函数f（x）在 $\text{[math]}$ 递增，
∵函数f（x）在[1，+∞）上为递增函数
∴[1，+∞）是 $\text{[math]}$ 的子集，
∴ $\text{[math]}$
∵a＞0，∴a≥1．
（2）当a=1，由（1）的函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上递减，在[1，2]上递增．
则y_min=f（1）=2；
又因为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
（3）令a=1，
由（1）得 $\text{[math]}$ （当且仅当t=1时等号成立），
两边同除t（t＞0）得 $\text{[math]}$ ，
令t=n²，
可得 $\text{[math]}$
由累加法得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）求导函数，确定函数的单调区间，利用函数f（x）在[1，+∞）上为递增函数，可得[1，+∞）是单调增区间的子集，由此可确定正实数a的取值范围；
（2）确定函数在 $\text{[math]}$ 上的单调性，进而可求函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值；
（3）令a=1，由（1）得 $\text{[math]}$ （当且仅当t=1时等号成立），
两边同除t（t＞0）得 $\text{[math]}$ ，再令t=n²，进而利用累加法，即可得到结论．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查大小比较，解题的关键是正确求出导函数，合理构建不等式，属于中档题．