题目内容

已知 $数学公式$
（1）若f（x）的图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；
（2）若f（x）在x=1时取得极值，且x∈（-1，2），f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

解：（1）由 $\text{[math]}$
∴f'（x）=3x²-x+b（2分）
由己知f'（x）=0有实数解，∴△=1-12b≥0，故 $\text{[math]}$ （3分）
（2）∵f（x）在x=1时取得极值
∴x=1是方程3x²-x+b=0的一个根，设另一根为x₀
则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （2分）
∴ $\text{[math]}$ ，f'（x）=3x²-x-2
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＞0；
当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0；
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0
∴当 $\text{[math]}$ 时，f（x）有极大值 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，f（2）=2+c，
即当x∈[-1，2]时，f（x）的量大值为f（2）=2+c（3分）
∵对x∈（-1，2）时，f（x）＜c²恒成立，∴c²≥2+c，∴c≤-1或c≥2（3分）
故c的取值范围是：（-∞，-1]∪[2，+∞）（1分）
分析：（1）图象有与x轴平行的切线，即切线斜率为0，也就是存在x使得导函数为0，对原函数求导令其等于0即可解决；
（2）在极值处导函数为0，可以求出b，再将恒成立问题转化为函数的最大值，利用函数的导数即可求最大值，进而解决问题．
点评：本题考查函数的导数的几何意义，导数值是该点处切线的斜率值，以及函数的导数在函数的最值中的应用和不等式恒成立问题，属于中档题．