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求函数
.
(1) 求
的周期与值域;
(2)求
在
上的单调递减区间.
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【答案】
1)
【解析】略
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已知f(x)=xlnx,g(x)=x
3
+ax
2
-x+2.
(Ⅰ)如果函数g(x)的单调递减区间为
(-
1
3
,1)
,求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数y=g(x)的图象在点P(-1,1)处的切线方程;
(Ⅲ)若不等式2f(x)≤g′(x)+2的解集为P,且(0,+∞)⊆P,求实数a的取值范围.
(1)已知:
f(x)=
4
x
2
-12x-3
2x+1
,x∈[0,1]
,求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)a≥1,函数g(x)=x
3
-3a
2
x-2a,x∈[0,1],判断函数g(x)的单调性并予以证明;
(3)当a≥1时,上述(1)、(2)小题中的函数f(x)、g(x),若对任意x
1
∈[0,1],总存在x
2
∈[0,1],使得g(x
2
)=f(x
1
)成立,求a的取值范围.
求满足下列条件的概率(若是古典概率模型请列出所有基本事件)
(1)若mn都是从集合{1,2,3}中任取的数字,求函数f(x)=x
2
-4mx+4n
2
有零点的概率;
(2)若mn都是从区间[1,4]中任取的数字,
①求函数f(x)=x
2
-4mx+4n
2
在区间[2,4]上为单调函数的概率;
②在区间[0,4]内任取两个实数x,y,求事件“x
2
+y
2
>(m-n)
2
恒成立”的概率.
已知函数f(x)=ax
2
+ln(x+1).
(1)当
a=-
1
4
时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围.
(文)(Ⅲ)利用ln(x+1)≤x,求证:
ln{(1+
2
2×3
)(1+
4
3×5
)(1+
8
5×9
)•…•[1+
2
n
(
2
n-1
+1)(
2
n
+1)
]}<1
(其中n∈N
*
,e是自然对数的底数).
(Ⅲ)求证:
(1+
2
2×3
)(1+
4
3×5
)(1+
8
5×9
)•…•[1+
2
n
(
2
n-1
+1)(
2
n
+1)
]<e
(其中n∈N
*
,e是自然对数的底数).
已知函数
f(x)=
ax+b
x
2
+1
图象在x=1处的切线方程为2y-1=0.
(Ⅰ) 求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若△ABC的三个顶点(B在A、C之间)在曲线y=f(x)+ln(x-1)(x>1)上,试探究
f(
2
sin
2
A+
sin
2
C
)
与
f(
2
sin
2
B
)
的大小关系,并说明理由;
(Ⅲ)证明:
1
1
2
+1
+
2
2
2
+1
+…+
n
n
2
+1
>ln
n
2
(n∈N
*
).
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