Question

点A，B，C，D在抛物线x²=4y上，A，D关于抛物线的对称轴对称．过点D的切线平行于BC，点D到到AB，AC距离分别为d₁，d₂，且d1+d2=

2

|AD|．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形），并说明理由；
（Ⅱ）若△ABC的面积为240，求点A的坐标和BC的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义即可得出直线BC的斜率，进而可得直线AC、AB的斜率之间的关系，即可判断三角形的形状；
（Ⅱ）利用点A的坐标表示弦长|AC|、|AB|，进而利用面积即可得出坐标，及直线方程．

解答：解：（Ⅰ）由x²=4y得，y′=

1

2

x．设D(x0，

1

4

x

2 0

)，由导数的几何意义知BC的斜率kBC=

1

2

x0，
由题意知A(-x0，

1

4

x

2 0

)，设C(x1，

1

4

x

2 1

)，B(x2，

1

4

x

2 2

)，
则kBC=

1 4 x 2 1 - 1 4 x 2 2

x1-x2

=

1

2

x0⇒x2=2x0-x1，所以B(2x0-x1，

1

4

(2x0-x1)2)，kAC=

1 4 ( x 2 1 - x 2 0 )

x1-x0

=

1

4

(x1-x0)，kAB=

1 4 [(2x0-x1)2- x 2 0 ]

2x0-x1+x0

=

1

4

(x0-x1)，
所以k_AC=-k_AB，∴∠DAC=∠DAB，∴d₁=d₂，
又由d1+d2=

2

|AD|得sin∠DAC=

2

2

，
∴∠DAC=∠DAB=45°，故△ABC是直角三角形．
（Ⅱ）由（1）知，不妨设C在AD上方，AB的方程为：y-

1

4

x

2 0

=-(x+x0)，
由

y- 1 4 x 2 0 =-(x+x0) x2=4y

得到另一个交点B(x0-4，

1

4

(x0-4)2)．
由AC：y-

1

4

x

2 0

=x+x0，
由

y- 1 4 x 2 0 =(x+x0) x2=4y

得到另一个交点C(x0+4，

1

4

(x0+4)2)．
∴|AB|=

2

|(x0-4)-(-x0)|=

2

|2x0-4|，|AC|=

2

|(x0+4)-(-x0)|=

2

|2x0+4|，
∴S△ABC=

1

2

•2|2x0-4||2x0+4|=240，
解得x₀=±8，∴A（8，16）或（-8，16），
若x₀=8时，B（4，4），C（12，36），BC：y=4x-12，
若x₀=-8时，B（-12，36），C（-4，4），BC：y=-4x-12．

点评：熟练掌握导数的几何意义、直线的斜率与倾斜角的关系、直线与抛物线相交问题、弦长公式即可得出．