Question

如图，F为双曲线C：的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|，
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；
（Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若|AB|=12，求此时的双曲线方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵四边形OFPM是，
∴，
作双曲线的右准线交PM于H，则，
又，
。
（Ⅱ）当λ=1时，e=2，c=2a，，
双曲线为，
设P，则，
，
所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，
代入到双曲线方程得：，
又|AB|=12，由得：
，解得a=1，则，
所以为所求。