Question

如图，F为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点．P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点．已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与λ的关系式；
（Ⅱ）当λ=1时，设双曲线右支与x轴的交点为R，且|PR|=2，求此时的双曲线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，四边形OFPM是平行四边形，分析可得|OF|=|PM|=c，作双曲线的右准线交PM于H，由双曲线的性质可得|PM|=|PH|+2

a2

c

，又由e=

|PF|

|PH|

，代入化简可得答案；
（Ⅱ）分析可得，当λ=1时，四边形OFPM是菱形，则e=2，即c=2a，可得|OF|=|PF|=2a，可求得点p的横坐标，作PQ⊥x轴，垂足为Q，则点Q为线段RF的中点，进而可得△PQF为等腰三角形，则|PR|=2a=2，即可得a、b的值，由双曲线的标准方程可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵四边形OFPM是平行四边形，
∴|OF|=|PM|=c，
作双曲线的右准线交PM于H，
则|PM|=|PH|+2

a2

c

，
又e=

|PF|

|PH|

=

λ|OF|

c-2 a2 c

=

λc

c-2 a2 c

=

λc2

c2-2a2

=

λe2

e2-2

，
e²-λe-2=0
（Ⅱ）当λ=1时，四边形OFPM是菱形
e=2，c=2a，即|OF|=|PF|=2a，2a=ex_P-a（或2a=xP+

a2

c

）
可求得点p的横坐标为eP=

3

2

a
作PQ⊥x轴，垂足为Q，则点Q为线段RF的中点，
所以△PQF为等腰三角形，
所以|PR|=2a=2，即a=1，b=

3

，
双曲线方程为：x2-

y2

3

=1．

点评：本题考查双曲线的几何性质及应用，此类题目一般计算量较大，解本题时，注意把握平行四边形与菱形的性质，寻找突破点，同时可以减小运算量．