题目内容

已知函数f(x)和g(x)的图象关于点(1,1)对称,且f(x)=2x
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)若h(x)=f(x)-λg(x)+2λ(λ>0)在[1,+∞)上是增函数,求实数λ的取值范围.
分析:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于点(1,1)的对称点为P(x,y),则
x0+x
2
=1
y0+y
2
=1
x0=2-x
y0=2-y.
由点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上可得,y0=2x0,从而可求y=f(x)
(Ⅱ) 由(I)可得h(x)=2x+
2x
在[1,+∞)上是增函数,即可得当1≤x1<x2时,h(x2)-h(x1)>0,2x1+x2>4λ,从而可求
解答:解:(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于点(1,1)的对称点为P(x,y),则
x0+x
2
=1
y0+y
2
=1
x0=2-x
y0=2-y.
(4分)
∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,y0=2x0
∴2-y=22-x,即y=2-22-x,故g(x)=2-22-x.(6分)
(Ⅱ) h(x)=f(x)-λg(x)+2λ=2x-λ(2-
4
2x
)+2λ
=2x+
2x
(7分)
设1≤x1<x2h(x1)-h(x2)=2x2+
2x2
-(2x1+
2x1
)

=2x2-2x1+
2x2
-
2x1
=2x2-2x1+
4λ(2x1-2x2)
2x2+x1

=(2x2-2x1)
(2x1+x2-4λ)
2x2+x1
(10分)
h(x)=f(x)-λg(x)+2λ(λ>0)在[1,+∞)上是增函数h(x2)-h(x1)>0,
(2x2-2x1)
(2x1+x2-4λ)
2x2+x1
>0
2x1+x2-4λ>0(12分)
2x1+x2>4λ,∵x2>x1≥1,⇒x2+x1>2,
2x1+x2>4,∴4≥4λ∴0<λ≤1为所求                                            (14分)
点评:本题主要考查了关于点对称的函数的解析式的求解,主要利用的是中点坐标公式,函数的单调性的定义的应用及单调性中的恒成立的问题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网