Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）λ≠-1，若h（x）=g（x）-λf（x）+1在x∈[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），利用函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，可求得对称点之间的坐标关系，利用f（x）=x²+2x，可求函数g（x）的解析式；
（2）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1，其对称轴方程为x=

1-λ

1+λ

，利用h（x）=g（x）-λf（x）+1在x∈[-1，1]上是增函数，可求实数λ的取值范围．

解答：解：（1）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），则

x0+x 2 =0 y0+y 2 =0

，即

x0=-x y0=-y

（2分）
∵点Q（x₀，y₀）在函数y=f（x）的图象上
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，
故g（x）=-x²+2x（6分）
（2）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1
其对称轴方程为x=

1-λ

1+λ

．
ⅰ）当λ＜-1时，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1
ⅱ）当λ＞-1时，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0．（12分）
综上，λ≤0且λ≠-1（13分）

点评：本题以函数为载体，考查函数解析式的求解，考查函数的单调性，求解析式的关键是利用对称性，求得对称点坐标之间的关系