Question

    设A(－2，0)，B(2，0)，M为平面上任一点，若|MA|＋|MB|为定值，且cosAMB的最小值为.

    (1)求M点轨迹C的方程；

    (2)过点N(3，0)的直线l与轨迹C及单位圆x²+y²=1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|＝|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：(1)设M(x，y)，∵在△AMB中，AB＝4，|MA|＋|MB|是定值.     可设|MA|＋|MB|＝2a(a＞0). ∴     =     =.     而，     ∴|MA|·|MB|≤a2.     ∴.     ∵cosAMB最小值为，     ∴.     ∴.     ∴.     ∴M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且，c=2.     ∴b2=a2－c2=2.     ∴曲线C的方程是.     (2)设直线l的方程是y＝k(x－3).     1°当k＝0时，显然有|PQ|＝|RS|；此时l的方程是y＝0.     2°当k≠0时，∵|PQ|＝|RS|，     ∴PS与RQ的中点重合，设中点为G，则OG⊥PS.     由，得(1+3k2)x2－18k2x+27k2－6=0.     设P(x1，y1)，S(x2，y2)，     则，.     ∴G( ，).     ∴无解，此时l不存在，     综上，存在一条直线l：y＝0满足条件.