Question

设A(－2，0)，B(2，0)，M为平面上任一点，若|MA|＋|MB|为定值，且cosAMB的最小值为．

(1)求M点轨迹C的方程；

(2)过点N(3，0)的直线l与轨迹C及单位圆x²＋y²＝1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|＝|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设M(x，y)，∵在△AMB中，AB＝4，|MA|＋|MB|是定值．可设|MA|＋|MB|＝2a(a＞0)． 　　∴cosAMB＝＝ 　　＝－1．　　3分 　　而|MA|＋|MB|≥2，∴|MA|·|MB|≤a2． 　　∴－1≥－1．∵cosAMB最小值为－， 　　∴－1＝－．∴a＝．　　6分 　　∴|MA|＝|MB|＝2＞|AB|．∴M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a＝，c＝2． 　　∴b2＝a2－c2＝2．∴曲线C的方程是＝1．　　8分 　　(2)设直线l的方程是y＝k(x－3)． 　　1°当k＝0时，显然有|PQ|＝|RS|；此时l的方程是y＝0． 2°当k≠0时，∵|PQ|＝|RS|，∴PS与RQ的中点重合，设中点为G，则OG⊥PS． 　　由，得(1＝3k2)x2－18k2x＝27k2－6＝0．　　11分 　　设P(x1，y1)，S(x2，y2)，则x1＝x2＝，y1＝y2＝k(x1－3)＝k(x2－3)＝． 　　∴G(，)．∴×k＝－1无解，此时l不存在， 　　综上，存在一条直线l：y＝0满足条件．