Question

设椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，直线l过椭圆左焦点F₁且不与x轴重合，l椭圆交于P、Q，左准线与x轴交于K，|KF₁|=2．当l与x轴垂直时，|PQ|=

4

3

．
（1）求椭圆T的方程；
（2）直线l绕着F₁旋转，与圆O：x²+y²=5交于A，B两点，若|AB|∈[4，

19

]，求△F₂PQ的面积S的取值范围（F₂为椭圆的右焦点）．

Answer 1

分析：（1）欲求椭圆方程，只要求出a，b即可，因为左准线与x轴交于K，|KF₁|=2，可得到一个含a，c的等式，又因为，当l与x轴垂直时|PQ|=

4

3

，可得一个含a，b的等式，再根据a，b，c之间的关系，就可求出a，b的值，椭圆方程可得．
（2）△F₂PQ的面积S=

1

2

|AB|d，可设直线方程，与椭圆方程联立，求出|AB|，再用点到直线的距离公式，求出d，代入）△F₂PQ的面积S，最后用导数求范围即可．

解答：解（1）设椭圆半焦距为c，|KF1|=

a2

c

-c=

b2

c

=2 
，将x=-c 代入椭圆方程得y=±

b2

a

，
∴

2b2

a

=

4

3

∴

b2

a

=

2

3

 

所以e=

c

a

=

1

3

，e2=

a2-b2

a2

=

1

3

，
∴b2=

2

3

a2 
a²=3，b²=2 所求椭圆方程为：

x2

3

+

y2

2

=1 

（3）设直线l：x=my-1 即x-my+1=0，圆心O 到l 的距离d=

1

1+m2

 
由圆性质：|AB|=2

r2-d2

=2

5- 1 1+m2

，
又|AB|∈[4，

19

]，得m²∈[0，3]
联立方程组

x=my-1 x2 3 + y2 2 =1

，消去x 得（2m²+3）y²-4my-4=0 
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） 
则y1+y2=

4m

2m2+3

，y1y2=

-4

2m2+3

 
S=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2 (2m2+3)2 + 16 2m2+3

 
=

48(m2+1) (2m2+3)2

=

48 4t+ 1 t +4

（令t=m²+1∈[1，4]），
设f(t)=4t+

1

t

，t∈[1，4]，
f′（t）=4-

1

t2

=

4t2-1

t2

＞0，对t∈[1，4]恒成立，
f（t）=4t+

1

t

在[1，4]上为增函数，4t+

1

t

∈[5，

65

4

]，
所以，S∈[

8 3

9

，

4 3

3

]

点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及弦长公式及点到直线的距离公式的应用．