题目内容
已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）当a=1，c=
时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若不等式m2-2km+1+b+ac≥0对所有k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
（1）当a=1，c=
| 1 |
| 2 |
（2）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若不等式m2-2km+1+b+ac≥0对所有k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
（本小题满分（14分），（1）（2）小题每题（3分），（3）（4）小题每题4分）
（1）当a=1，c=
时，f(x)=x2+bx+
，
f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
∵f(
)=0，设另一个根为x2，则
x2=
，∴x2=1，
则 f（x）＜0的解集为 (
，1)．…（3分）
（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，
∵f（c）=0，设另一个根为x2，则cx2=
∴x2=
，
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则
＞c，
∴f（x）＜0的解集为(c，
)…（6分）
（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为(c，0)，(
，0)，(0，c)
这三交点为顶点的三角形的面积为S=
(
-c)c=8，…（8分）
∴a=
≤
=
故a∈(0，
]．…（10分）
（4）∵f（c）=0，∴ac2+bc+c=0，
又∵c＞0，∴ac+b+1=0，…（11分）
要使m2-2km≥0，对所有k∈[-1，1]恒成立，则
当m＞0时，m≥（2k）max=2
当m＜0时，m≤（2k）min=-2
当m=0时，02≥2k•0，对所有k∈[-1，1]恒成立
从而实数m的取值范围为 m≤-2或m=0或m≥2．…（14分）
（1）当a=1，c=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
f（x）的图象与x轴有两个不同交点，
∵f(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
则 f（x）＜0的解集为 (
| 1 |
| 2 |
（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，
∵f（c）=0，设另一个根为x2，则cx2=
| c |
| a |
| 1 |
| a |
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则
| 1 |
| a |
∴f（x）＜0的解集为(c，
| 1 |
| a |
（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为(c，0)，(
| 1 |
| a |
这三交点为顶点的三角形的面积为S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
∴a=
| c |
| 16+c2 |
| c | ||
2
|
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 8 |
（4）∵f（c）=0，∴ac2+bc+c=0，
又∵c＞0，∴ac+b+1=0，…（11分）
要使m2-2km≥0，对所有k∈[-1，1]恒成立，则
当m＞0时，m≥（2k）max=2
当m＜0时，m≤（2k）min=-2
当m=0时，02≥2k•0，对所有k∈[-1，1]恒成立
从而实数m的取值范围为 m≤-2或m=0或m≥2．…（14分）
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，求该一元二次函数的解析式。