Question

已知一元二次函数y=f（x）满足f（-1）=12，且不等式f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜5}，当a＜0时，解关于x的不等式

2x2+(a-10)x+5

f(x)

＞1．

Answer 1

分析：设出二次函数，通过满足f（-1）=12，且不等式f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜5}，求出函数的表达式，化简表达式为同解不等式，对a分类讨论求出不等式的解集即可．

解答：解：依题意设f（x）=b（x-0）（x-5）=bx（x-5），且b＞0，
又f（-1）=12⇒b=2，∴f（x）=2x²-10x，
∴原不等式

2x2+(a-10)x+5

f(x)

＞1
化为

2x2+(a-10)x+5

2x2-10x

＞1?

ax+5

2x2-10x

＞0?(ax+5)(2x2-10x)＞0，?（ax+5）x（2x-10）＞0
a(x+

5

a

)x(2x -10)＞0?(x+

5

a

)x(2x -10)＜0，
令(x+

5

a

)x(2x -10)=0得x₁=0，x2=-

5

a

，x₃=5
当a=-1时，不等式的解为x＜0；
当-1＜a＜0时，5＜-

5

a

，
不等式的解为x＜0或5＜x＜-

5

a

；
当a＜-1时，5＞-

5

a

＞0，
不等式的解：x＜0或5＞x＞-

5

a

；
综上所述：当-1＜a＜0时，
不等式的解集为{x|x＜0或5＜x＜-

5

a

}；
当a=-1时，不等式的解为{x|x＜0}；
当a＜-1时，不等式的解：{x|x＜0或5＞x＞-

5

a

}；（12分）

点评：本题考查不等式的解法，注意分类讨论穿根法的应用，二次函数的求法，考查计算能力．