题目内容
已知数列{an}中，a1＝
，点(n，2an＋1－an)(n∈N*)在直线y＝x上，
（1）计算a2，a3，a4的值；
（2）令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列；
（3）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{
}为等差数列？若存在，试求出λ．的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意，2an＋1－an＝n，又a1＝
，所以2a2－a1＝1，解得a2＝
，
同理a3＝
，a4＝
．
(2)因为2an＋1－an＝n，
所以bn＋1＝an＋2－an＋1－1＝
－an＋1－1＝
，
bn＝an＋1－an－1＝an＋1－(2an＋1－n)－1＝n－an＋1－1＝2bn＋1，即
＝
又b1＝a2－a1－1＝－，所以数列{bn}是以－为首项，为公比的等比数列．
(3)由(2)得，bn＝－×()
＝－3×()，Tn＝
＝3×()－
．
又an＋1＝n－1－bn＝n－1＋3×()，所以an＝n－2＋3×()n，
所以Sn＝
－2n＋3×
＝
＋3－
．
由题意，记cn＝
．要使数列{cn}为等差数列，只要cn＋1－cn为常数．
cn＝＝
＝
＋(3－λ)×
，
cn－1＝
＋(3－λ)×
，
则cn－cn－1＝＋(3－λ)×(－)．
故当λ＝2时，cn－cn－1＝为常数，即数列{}为等差数列．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|