Question

已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量

e1

=[

1 1

]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值．

Answer 1

分析：（1）先设矩阵A=

a b c d

，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e₁及矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（-2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，从而求得另一个特征值为2．

解答：解：（1）设矩阵A=

a b c d

，这里a，b，c，d∈R，
则

a b c d

 

1   1

=8

1   1

=

8   8

，
故

a+b=8 c+d=8

，
由于矩阵M对应的变换将点（-1，2）换成（-2，4）．
则

a b c d

 

-1    2

=

-2    4

，
故

-a+2b=-2 -c+2d=4

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=

6 2 4 4

．
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，
故矩阵M的另一个特征值为2．

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．