题目内容
15.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,已知a(sinA-sinB)=2(sin2C-sin2B),a=2snA.(1)求角C;
(2)求△ABC的面积S的最大值.
分析 (1)a(sinA-sinB)=2(sin2C-sin2B),a=2sinA,利用正弦定理可得a2+b2-c2=ab,利用cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$,即可求角C;
(2)表示出△ABC的面积S,结合辅助角公式,即可求△ABC的面积S的最大值.
解答 解:(1)∵a(sinA-sinB)=2(sin2C-sin2B),a=2sinA,
∴2sinA(sinA-sinB)=2(sin2C-sin2B),
∴由正弦定理可得a(a-b)=c2-b2,
∴a2+b2-c2=ab,
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$,
∵0°<C<180°,
∴C=60°;
(2)∵a=2sinA,∴R=1,
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=4sinAsinB=4sinAsin(120°-A)=4sinA($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA)
=1+2sin(2A-30°)
∵0°<A<120°,
∴-30°<2A-30°<210°,
∴-$\frac{1}{2}$<sin(2A-30°)≤1,
∴△ABC的面积S的最大值为3.
点评 本题考查求△ABC的面积S的最大值,考查正弦定理、余弦定理的运用,考查辅助角公式,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | $\frac{4}{3}$ | B. | $\frac{3}{4}$ | C. | $\frac{3}{5}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |