题目内容
已知函数f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求函数f(x)的值域.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求函数f(x)的值域.
(1)(-1,1)(2)f(x)是偶函数(3)(-∞,0]
(1)由得-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)由f(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)+(-x)4-2(-x)2=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(3)f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2=lg(1-x2)+x4-2x2,
设t=1-x2,由x∈(-1,1),得t∈(0,1].
所以y=lg(1-x2)+x4-2x2=lgt+(t2-1),t∈(0,1],
设0<t1<t2≤1,则lgt1<lgt2,<,
所以lgt1+(-1)<lgt2+(-1),
所以函数y=lgt+(t2-1)在t∈(0,1]上为增函数,
所以函数f(x)的值域为(-∞,0].
(2)由f(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)+(-x)4-2(-x)2=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(3)f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2=lg(1-x2)+x4-2x2,
设t=1-x2,由x∈(-1,1),得t∈(0,1].
所以y=lg(1-x2)+x4-2x2=lgt+(t2-1),t∈(0,1],
设0<t1<t2≤1,则lgt1<lgt2,<,
所以lgt1+(-1)<lgt2+(-1),
所以函数y=lgt+(t2-1)在t∈(0,1]上为增函数,
所以函数f(x)的值域为(-∞,0].
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