Question

已知数列{a_n}：a₁=1、a₂=2、a₃=r且a_n+3=a_n+2（n∈N^*），与数列{b_n}：b₁=1、b₂=0、b₃=-1、b₄=0且b_n+4=b_n（n∈N^*）．记T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．
（1）若a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，求r的值；
（2）求T₁₂的值，并求证当n∈N^*时，T_12n=-4n；
（3）已知r＞0，且存在正整数m，使得在T_12m+1，T_12m+2，…，T_12m+12中有4项为100．求r的值，并指出哪4项为100．

Answer 1

分析：（1）求出数列的前9项，利用a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，即可求r的值；
（2）利用T_n=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b_na_n．直接求T₁₂的值，然后利用数学归纳法证明，当n∈N^*时，T_12n=-4n；
（3）写出T_12m+1，T_12m+2，…，T_12m+12的值，判断这12项中的4项为100．然后求出r的值，即可求出哪4项为100．

解答：解：（1）求得a₁=1，a₂=2，a₃=r，a₄=3，a₅=4，a₆=r+2，a₇=5，a₈=6，a₉=r+4
所以由a₁+a₂+a₃+…+a₉=34，可得r=

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．
（2）因为b₁=1、b₂=0、b₃=-1、b₄=0且b_n+4=b_n（n∈N^*）．
a₁=1，a₂=2，a₃=r，a₄=3，a₅=4，a₆=r+2，a₇=5，a₈=6，a₉=r+4…
T₁₂=b₁a₁+b₂a₂+b₃a₃+…+b₁₂a₁₂=-4，T_12n=-4n，
用数学归纳法证明：
当n∈Z⁺时，T_12n=-4n．
①当n=1时，T₁₂=a₁-a₃+a₅-a₇+a₉-a₁₁=-4，
等式成立
②假设n=k时等式成立，即T_12k=-4k，
那么当n=k+1时，
T_12（k+1）=T_12k+a_12k+1-a_12k+3+a_12k+5-a_12k+7+a_12k+9-a_12k+11
=-4k+（8k+1）-（8k+r）+（8k+4）-（8k+5）+（8k+r+4）-（8k+8）
=-4k-4=-4（k+1），
等式也成立．
根据①和②可以断定：当n∈Z⁺时，T_12n=-4n．
（3）解：T_12m=-4m（m≥1）．
当n=12m+1，12m+2时，T_n=4m+1；
当n=12m+3，12m+4时，T_n=-4m+1-r；
当n=12m+5，12m+6时，T_n=4m+5-r；
当n=12m+7，12m+8时，T_n=-4m-r；
当n=12m+9，12m+10时，T_n=4m+4；
当n=12m+11，12m+12时，T_n=-4m-4．
∵4m+1是奇数，-4m+1-r，-4m-r，-4m-4均为负数，
∴这些项均不可能取到100．
∴4m+5-r=4m+4=100，解得m=24，r=1．
此时T₂₉₃，T₂₉₄，T₂₉₇，T₂₉₈为100．

点评：本题考查数学归纳法的证明步骤，数列求和的应用，分析问题解决问题的能力，计算能力．